在群里，星星老师抛出一题：＂甲乙丙三人打牌，第一局：甲输给乙丙，乙丙手中点数翻番，第二局：甲乙赢，甲乙点数翻番，第三局：甲丙胜，甲丙点数翻番．此时，每人手中点数相等，可甲发现自己输了１００点，开始时，甲有多少点？ "

解答提示：用倒推的方法，从结果入手。解法如下：

甲应该有260点

自我收到Koch（1970）的礼物------诗集《愿望、谎言与梦想》已经十余年了。在那本书里，Koch，一个著名的美国诗人，描述了他在曼哈顿小学给不同年龄、社会经济和语言背景的孩子教学诗歌的经历。
为“给予他们观念，鼓舞他们，（并）使他们想写作”（P.10），在为他们读了一些诗后，Koch鼓励他们用诗歌表达他们自己的思想和感情。围绕一个简单的主题，他组织每一节课：某一天孩子们会写一首充满愿望的诗（我希望我……），另一天创作一组谎言，第三天写一首有关梦想的诗（我梦想……），等等。
Koch的《愿望、谎言与梦想》是一本诗歌教育的先锋之作。他的课题是1968年进行的，得到国际艺术基金的资助，这是美国联邦政府的一个独立机构，始建于1965年。1969年，也就是Koch进行了他的教学实验一年后，这个机构启动了一个被称为校园艺术的项目。在这个项目中，遍及全国的诗人、演员、音乐家、艺术家和舞蹈家俸禄在课堂上教学。在这期间提供的政治气候，Koch的主要意图是民主的诗歌和诗歌写作就不足为奇了，击败了诗对于孩子们精英的偏僻的假定之说。Koch读给孩子们的诗是他们诗写作活动的完整部分，而不是对被描述、分析、欣赏的简单东西的写作，他教诗的目的是为所有孩子提供机会，甚至是所谓的“不说英语的孩子们”，“用坚强的新奇的美丽的方式看世界”。
兴奋于Koch唤醒的孩子们对诗的感受力的方式，并且被孩子们创作的诗所触动，我不能自已。但当我在他的课题中读到没有得到证明的其中一个观念时，我失望了。这个观念是关于数学的诗。诗人坦承的与孩子们学习一首关于数学的诗的“失败”，长久在回荡在我的脑海里。
Koch是一个成功的深受喜爱的教师。在开始这个课题之前，他已经在哥伦比亚大学教了大约十年的写作与诗歌课程。为什么孩子们写作关于数学的有趣的诗失败了？为什么如此多才的诗人和教师在那个领域里鼓舞孩子们但却失败了？也许Koch并不熟悉世界和数学，但那是一个太容易的答复（但这个回答有些勉强），另一个原因可能是使英语语言的诗化使用与数学内容的结合所产生的困难要求，特别是那些非英语为主要语言的孩子。
在这篇文章里，我讨论一些来自于一个课题的诗，这个课题从Koch的诗歌教学的观念得到灵感，试图重新考量他的数学与诗的结论。参与这个课题的四个班级，一个三年级，两个四年级，一个五年级（8-10岁），来自希腊两所近郊的小学。所有参与这个课题的班级都有一定数学的具有阿尔巴尼亚血统的学生，他们有不同的用希腊语言------授课语言交流的能力和在数学课堂上参与的不同水平。这个课题的主要目的是把诗歌写作向数学拉近一些，追随着写作陈述和语言结构之间的对话逻辑关系的信念。(Connolly,1989)
Koch前述的在数学观念工作上的失败给我的思想带来了二重性，比如：数学的世界VS情绪的世界，完全的意义和客观公平VS解释说明和主观的意义，作为语言的数学VS受语言练习束缚的数学。我对这些基于与一般信念相反，数学充满了数值、情感、渴望的二元合成体立场进行了分析。

诗与数学
数学课堂的成果可能     两个相互关联的假设。第一个假设是苦于一个广泛的观念，这个观念认为写作数学与数学意义的形式主义表示------写作语言文本是练习的一个不必要的部分是类似的。第二个假设与一个口语比写作语言更重要或相反的谁先谁后的角色争论有关。如Stubbs(1980)提到，直到20世纪初，对写作语言仍有一种偏见，由于语言学没有技术研究口头语言，这种不理解达到相当程度。在20世纪初，虽然随着录音技术的发展，写作语言也仅仅只是开始被认为是口头语言的可视化作品。写作文本不仅仅是词汇与语法规则的一种文体的表达，而且参与了意义的构成。写作中，卷入交流部分的事物会加重思考过程的知觉和概念关系的理解，促进对数学知识的反应和占有，使作品结构个人化成为可能。（Shepard,1993）那么，在知识的结构和作品之间就存在一种对话关系，如诗人Stafford强调的，一个作家并不是有些思想要表达如同那些找到新的方法使得没有开始说出就不思考的新事物发生。
学校数学的写作文本不是明显的口语论文或结构严谨的数学观念的表达。数学的写作不需要记录、拷贝、再生、叙述或评估数学内容（Morgan,1993）。从事作为人类存在的基本的表象的写作并没有采用我之间提到的二元的任何一元。对数学教育者而言，可能认为课堂上研究写作在结构意义上的潜力是积极的。
诗歌与数学之间，和它们在学校课堂中的教学之间的关系，似乎取决于它们各自的认识论。一方面，诗人和语言教师，会同意Keats所说的数学已经“通过简化棱镜的颜色破坏了彩虹的诗意”（Thata,1981）诗歌与数学，都被认为是高度抽象的   与确定相关的大概清楚的听众。幸运的是，这里面认识论的证据并没有完全分开数学与诗歌的可能的关系。
在调用数学与诗歌的联盟时，我应受到取悦那些设置练习为他人服务的当权者的危险的警告。纠緾此二元论的两支，我们可以找到支持诗一样的数学的争论。作为一种从事或满足我们审美兴趣方式的“做”数学，以及数学的诗，诗作为记忆的策略以及作为产生或研究数学内容方式的词语问题，把诗歌写作当作 数学交流方式和数学课堂上探索它的教育潜在价值的一种切实可行的媒介，对数学课程来说完全是一般的比喻的思想需要和语言才能。

数学课堂里的诗歌写作
自从欧共体垮台，希腊成为移民的目的地。即使我的数据仅涉及合法的移民，估计约有100万移民生活在希腊，约占这个国家人口总数的1/10，一半以上的移民是阿尔巴尼亚人。在希腊所有水平的学校，非希腊裔学生占学生总数的10%，近75%的非希腊裔学生是阿尔巴尼亚人。与那些在课堂活动中不能流利地叙述教学语言的孩子中的参与者有关的一个重要的辩论是：那些不能流利地说出教学语言的学生却能参与诗歌写作，并且在数学课堂上更独特。
公平辩论怎样在数学课堂上    特别是在高度地以语言讲授为中心的希腊课堂里。我分析了阿尔巴尼亚血统的学生的诗，并把它们和那些确定无疑的既在教与学语言上非常流畅又在数学上取得很好成绩的希腊学生作了比较。在我的分析里，我试图显示通过听他们在数学课堂上写的诗，阿尔巴尼亚血统的学生的表达，既挑战了“教学语言不流畅的学生在语言和智力上受到限制”的假设（Setati and Adler,2000,pp.244-250），又挑战了把“冗长”作为成功学习成分回报的学究式实践。
参与课题的教师惊讶地发现数学被引入到诗歌的领域，反之亦然。数学与其它学校科目之间的联系，通过它在这些科目中的应用或者通过正常的交叉而被理解，但是，说数学无所不在是没有意义的。而且，诗歌与写作本身在希腊初级学校也是少有的，孩子们被教以欣赏诗歌和在不同的场合中主要是假期庆祝会上背诵“经典”诗歌，但并不写诗。教师们部分出于好奇才决定参与这个课题。
在学年之初，我和教师接触并和他们讨论工作的主要目的和细节。在教师们开始课题期间，他们和我讨论了一系列孩子们可以围绕写诗的主题（比如颜色、声音、梦想和比拟）。我们按数学诗的同一脉胳进行（零的概念、算术运算、几何图形和立体）。为帮助孩子们，我们决定遵循Koch的建议，每一行运用固定的套语。比如，“如果我是……我会……”或者“一个……像一个……”。
我也曾翻译Koch的《愿望、谎言与梦想》（1970）和《玫瑰，你为什么那样红》（1973）中引用的几首儿童诗。我们决定用若干这样的诗，在适合的地方激发儿童的动机，并提供给他们最终帮助他们用诗表达自己的形象。在开始阶段，我非正式地观看课堂是为了了解教室环境中的教师与学生。语言和数学课我都参与了。
我们以合写诗歌开始。每个孩子按确定的规则贡献一行（如，每一行以“我希望”开始，或者每行由给某人一条建议组成）。如Koch（1970）建议，合写诗歌，一种古老的诗歌写作练习，作为最早的活动作用是很好的。由于它缓解了学生开始时的困窘与犹豫。无论何地，只要主题是适当的，我们就会给学生伴以视觉和听觉的刺激活动（比如，在听森林里的喧闹与声音时写作诗歌）。一年过程中，我也围绕一些想法工作，从日历标志上寻找灵感（比如，一首临近四月愚人节的谎言诗）。
在大部分案例中，学生们把整个45分钟用在一首简单的诗上。学生们在写诗的时候，我们在教室里来回巡视，讨论他们的想法和他们想在诗中组合的形象。我们使他们清楚，押韵是不作要求的。偶尔地，我们帮助他们选择正确的单词，但从不纠正他们除非他们自己寻求语法和拼写的帮助。而在另一些时候，我们有机会研究他们的语法和拼写，因为 孩子们必须将他们的诗编辑成册。这个小册子是我们为每个班级针对每学年末准备的，一旦所有孩子完成一个特别主题的写作，他们就要把诗读给班级其他的孩子们听。

乘法先生和除法太太以及数学谎言

我把注意力集中于孩子们所写的《乘法先生和除法太太以及谎言》诗。用这两个主题，不像非数学的那些，在他们开始写作之前，我们没有什么诗可以读给孩子们，我们已决定把乘法和除法融合在同一主题里，鼓励孩子们写关于两种运算间关系的诗。我们给出两种运算的人类存在（？），以强调他们之间的关系。在此一周前孩子们写了一首谎言诗，诗的每一行都包括一个谎言，这首数学谎言诗对写这首诗是有帮助的。
Minas和Georgia是三年级（8岁）同班同学（参见图1，2第一主题诗）。Minas是一个具有阿尔巴尼亚血统的男孩，在幼稚园中班时来到希腊。他很合群，一直咧着嘴笑，有能力和同学老师进行口头交流。他之所以容易与人交流部分是因为他有一个到希腊两年在同一所学校五年级（10岁）的姐姐。但是，拥有中等官方语言能力水平同对课堂练习的含义和参与的深入理解需要不仅是技术性词汇的使用一样会产生误导（？）。（Moschkovich,2002,pp.192-200）. Georgia，一个希腊血统的女孩，这个班级成绩最好的学生之一，对诗歌写作有着吸引力。当老师对班级宣布他们要在下一年中写作诗歌时，她浑身发抖。Georgia的诗歌写作能力受到老师和同学类似的表扬。
我们从他的诗（图1）可以看出，对Minas而言，写作本质上是一种身体表演。文本的布局，单词的队列，在纸张的空白处硬挤着是把诗句写完，还有铅笔划过的痕迹都表明了这一点。他有几处拼写错误，多数单词不加重音，偶尔忽略单词的音节。Minas把乘法先生和除法太太看成是拥有魔力的实体。Minas给予除法太太减小人们尺寸的力量。虽然弄混了重量和身高，Minas事实上（居然）使用了日常的表示：
一位女士太重了/进不了门/去分开变矮了/第二次她又去/她变得更矮了（5~9行）
类似地，他把出乘法先生看成拥有增加人们尺寸的力量：
一个老人太小了/乘法和他使他变高/这个老人发抖因为/他花了十镑纸币（13~16行）

(未完待续)